☛ * Recherche d'un vecteur normal à un plan

Énoncé

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ . Soit  $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$  et  $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ deux vecteurs de l'espace.

1. Justifier que les deux vecteurs $\overrightarrow{u}$  et  $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires.

2. Déterminer alors les coordonnées d'un vecteur  $\overrightarrow{n}$  non nul, orthogonal aux deux vecteurs  $\overrightarrow{u}$  et  $\overrightarrow{v}$ .

Solution

1. Les produits en croix  $(-2)\times 3=-6$  et  $5\times 1=5$  sont différents.
Donc les vecteurs  $\overrightarrow{u}$  et  $\overrightarrow{v}$   ne sont pas colinéaires.

2. On cherche  $\overrightarrow{n}(a;b;c)$  tel que  $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{u}=0$  et  $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{v}=0$ .
On résout le système :  $\{\begin{array}{l}-2a+b+2c=0\\ 5a+3b-c=0\end{array}$ .
On décide que le paramètre sera $a$ et on résout le système $$  :  $\{\begin{array}{l}b+2c=2a\\ 3b-c=-5a\end{array}$ , d'inconnues $b$ et $c$ .
En procédant par combinaison, on obtient : $7b=-8a$ soit  $b=-{\displaystyle \frac{8}{7}}a$ .
On remplace cette valeur dans l'une des deux équations et on obtient :  $c={\displaystyle \frac{11}{7}}a$ .
On vérifie que ce couple est bien solution du système.
Les coordonnées de  $\overrightarrow{n}$  s'écrivent :  $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}a\\ -{\displaystyle \frac{8}{7}}a\\ {\displaystyle \frac{11}{7}}a\end{array}\right)$  avec  $a\in \mathbb{R}$ .
Le vecteur  $\overrightarrow{n}$  doit être non nul, donc on doit choisir  $a\ne 0$ .
On prend, par exemple,  $a=7$ . On a donc  $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}7\\ -8\\ 11\end{array}\right)$ .